Lex Secunda

Gastvortrag zum 2. Newtonschen Gesetz, gehalten an der FH Erfurt am 18. September 2014 vor Studienanfängern des Matrikels 2014

PhilosophiaeMutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

„Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt“, formulierte ISAAC NEWTON 1687 in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Rein formal können wir diesen Zusammenhang zwischen Bewegungsänderung und Kraft ausdrücken als

\({\dot{\vec{v}}\propto\vec{F}\ .}\qquad\text{(1)}\)

Wenngleich NEWTON die nach ihm benannten Axiome bereits vor über 300 Jahren niederschrieb, sagen sie uns noch heute, was geschieht, wenn wir eine Kraft auf eine bestimmte Masse ausüben. Sie gelten für die Knochen in unserem Körper, wie auch für die Flugbahn des Balles, den Mario Götze in der 113. Minute im argentinischen Tor versenkte. Ja sie beschreiben sogar die Bewegung der Planeten beim Umlauf um die Sonne. Die von NEWTON getroffenen Vorhersagen haben zum Inhalt, daß die Bewegung eines beliebigen Körpers sich immer weiter mit derselben Geschwindigkeit fortsetzen wird, solange keine Kraft auf den Gegenstand wirkt, eine wie auch immer geartete Kraft dieses Objekt in Abhängigkeit von seiner Masse indes beschleunigen und diese Kraft eine gleich große, jedoch entgegengesetzte Gegenkraft hervorrufen wird.

Wagen wir also einen kleinen Einstieg in die Gedankenwelt des ISAAC NEWTON.

Galileo Galilei

Galileo Galilei (1564–1642)

Beginnen wir dazu mit einem Blick auf den Stand der Physik zur Zeit des Barocks, konkret in der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts. In der Toskana grübelte zu jener Zeit ein Gelehrter namens GALILEO GALILEI unter anderem über die Gesetzmäßigkeiten bei der gleichmäßigen Bewegung von Körpern. Er war natürlich bestens vertraut mit den Werken der alten Griechen, kannte die seit beinahe 2000 Jahren als richtig akzeptierten Lehren des ARISTOTELES (384–322 v.C.). Dieser sagte voraus, daß auf einer Fläche liegende Körper, die einen Stoß erhalten, mit der Zeit langsamer werden und schließlich ganz zur Ruhe kommen – eine Beobachtung, die wir noch heute teilen. Konsequenterweise argumentierte Aristoteles, daß der natürliche Zustand eines Körpers die Ruhe ist. Allein GALILEI wollte dieser Interpretation nicht länger folgen, indem er von der idealisierten Annahme einer reibungsfreien Bewegung ausging. Sein Gedanke war, daß wenn Reibung ausgeschlossen werden könnte, ein Körper mit einem anfänglichen Stoß auf einer geraden Fläche sich endlos weiter bewegen würde – ohne je von allein anzuhalten. Er zog den Schluß, daß für einen Körper die Bewegung ein ebenso natürlicher Zustand ist wie die Ruhe. GALILEI leistete also einen unermeßlichen Beitrag zum Verständnis von Bewegung, als er das Prinzip der Trägheit entdeckte: Wenn man ein Objekt in Ruhe läßt, es nicht beeinflußt, dann bewegt es sich geradlinig weiter mit konstanter Geschwindigkeit, falls es ursprünglich bewegt war, oder es bleibt in Ruhe, falls es ursprünglich in Ruhe war. Natürlich scheint sich dies in der Natur nie so abzuspielen, denn selbst wenn Sabine Lisicki einen Ball aufschlägt, wird dieser zur Ruhe kommen, weil er eben nicht alleingelassen wird – er reibt sich an der Luft. Es erforderte eine gewisse Vorstellungskraft, die richtige Regel zu finden, und diese Vorstellungskraft wurde durch GALILEO aufgebracht.

Isaac Newton

Isaac Newton (1643–1727)

Als nächstes ist natürlich eine Regel erforderlich, die bestimmt, wie ein Objekt seine Geschwindigkeit ändert, wenn es durch irgendetwas beeinflußt wird. An dieser Stelle betritt NEWTON die Bühne. Er hat drei Gesetze aufgeschrieben: Beim ersten könnte man bösartig unterstellen, daß er sich einer heute mehr denn je verbreiteten Technik – des „Guttenbergens“ – bediente: er formulierte des Galileische Trägheitsprinzip etwas um. Sein zweites Axiom beschreibt, wie sich die Geschwindigkeit unter verschiedenen Kräften ändert, während das dritte in gewissem Umfang die Kräfte selbst beschreibt. Ich werde im weiteren den Schwerpunkt meiner Ausführungen auf das 2. Gesetz legen, das behauptet, daß die Bewegung eines Objektes auf folgende Weise durch Kräfte geändert wird:

Die zeitliche Änderung der Größe, genannt Impuls, ist proportional zur Kraft.

Zunächst haben wir zu beachten, daß Impuls nicht das Gleiche wie Geschwindigkeit ist. Wenn wir einen Schub oder Zug auf ein massives Objekt ausüben, dann bewegt es sich leicht; wenn wir mit der gleichen Intensität ein anderes, viel massiveres Objekt schieben bzw. ziehen, dann bewegt es sich viel langsamer. Wir verwenden also den Begriff Masse als ein quantitatives Maß für die Trägheit. Nun ist der Impuls eines Objektes ein Produkt zweier Größen: seiner Masse und seiner Geschwindigkeit. Damit können wir das 2. NEWTONsche Gesetz mathematisch wie folgt notieren:

\(F = \dot{p}=\frac{\rm{d}}{dt}(m\,v)\ .\qquad\text{(2)}\)

An dieser Stelle haben wir verschiedene Punkte zu beachten. Erstens, daß die Masse eines Objektes konstant ist; sie ist es nicht wirklich, aber wir werden NEWTONs Approximation an dieser Stelle akzeptieren. Weiterhin gibt es einige Implikationen bezüglich der Kraft. Am wichtigsten dabei ist, daß sich die Gleichung nicht nur auf Änderung des Betrages des Impulses oder der Geschwindigkeit bezieht, sondern auch auf Richtungsänderungen. Ist die Masse konstant, sollten wir  Gleichung (2) daher besser in vektorieller Form schreiben:

\(\vec{F} = m\frac{\rm{d\vec{v}}}{dt}=m\,\vec{a}\ .\qquad\text{(3)}\)

Somit beinhaltet das 2. Axiom zwei Kernaussagen, nämlich erstens, daß sich der Effekt bei einer gegebenen Kraft umgekehrt wie die Masse verhält, und zweitens, daß die Richtung der Geschwindigkeitsänderung und die Richtung der Kraft gleich sind. Somit müssen wir verstehen, daß die Beschleunigung eines bewegten Objektes durch Geschwindigkeitszunahme bzw. –abnahme oder durch Modifikation seiner Bewegungsrichtung geändert werden kann.

Für einige Ableitungen in einem System von Massenpunkten benötigen wir Annahmen über die auftretenden Kräfte, die wir als 1. und 2. Zusatz bezeichnen. Im ersten Zusatz nehmen wir an, daß die Kräfte, die zwei Massenpunkte aufeinander ausüben, in Richtung der Verbindungslinie wirken, also

\((\vec{r_{1}}-\vec{r_{2}})\times\vec{F_{12}} =\vec{0} \ .\)

Der 2. Zusatz, welcher auch als Superpositionsprinzip der Kräfte bezeichnet wird, lautet: Wirken mehrere Kräfte \(F_{i}\) auf einen Massenpunkt, so ist die Gesamtkraft \(F\) die Summe der Einzelkräfte

\(\vec{F} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\vec{F_{i}} \ .\)

Wenn wir die NEWTONschen Gesetze benutzen wollen, benötigen wir irgendeine Formel für die Kraft. Dabei werden wir uns in der Mechanik durchweg auf solche Kräfte beschränken, die nur vom Ort und der Geschwindigkeit des Teilchens (bzw. Körpers) sowie von der Zeit abhängen.

\(\vec{F} = \vec{F}(\vec{r}(t),\dot{\vec{r}}(t),t)\qquad\text{(4)}\)

Wir schließen also aus, daß \(F\) von der Beschleunigung, von höheren Ableitungen oder von der Bewegung des Teilchens zu früheren Zeiten abhängt. Geschwindigkeitsabhängige Kräfte sind zum Beispiel die Reibungskräfte.

Zur Lösung von Problemen mittels der NEWTONschen Axiome können wir uns dann von folgenden Schritten leiten lassen:

  1. Aufstellen des Kraftgesetzes.
  2. Mathematische Lösung der Differentialgleichung: \(m\,\ddot{\vec{r}}(t) = \vec{F}(\vec{r}(t), \dot{\vec{r}}(t), t)\)
  3. Bestimmung der Integrationskonstanten der Lösung: Sie werden durch die Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit (etwa \(r(0)\) und \(\dot{r}(0)\)) festgelegt.
  4. Diskussion der Lösung, z. B. mittels graphischer Darstellung.

Als Spezialisierung von  Gleichung (4) kommt insbesondere die Beschränkung auf eine oder zwei Dimensionen, oder ein einfacher Ansatz für die Kraft in Frage. Betrachten wir daher einige Sonderfälle für eine Dimension

\(m\,\ddot{x} = F(x(t),\dot{x}(t),t)\ .\qquad\text{(5)}\)

Im einfachsten Fall, d. h. fehlender Kräfte (\(F=0\)), geht  Gleichung (5) in \(m\,\ddot{x}=0\) über und wir erhalten nach zweifacher Integration die Bewegungsgleichung für die gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit:

\(\dot{x} = c = v_{0}\hspace{1cm}{\small\text{und}}\quad  x(t) = v_{0}t+x_{0}\ .\)

Für den Fall der Gravitation hat NEWTON selbst eine spezielle Formel für die Kraft notiert. Nahe der Erdoberfläche ist die in vertikaler Richtung vorhandene Gravitationskraft proportional der Masse m eines Objektes und nahezu unabhängig von der Höhe, solange die Höhen klein im Vergleich zum Erdradius R sind:

\(F = G\,\dfrac{m\,M}{R^{2}}=m\,g\ , \qquad\text{(6)}\)

wobei wir \(g = (G\,M)/R^{2}\) als Fallbeschleunigung bezeichnen. Hiermit lautet diesmal das 2. Axiom \(m\ddot{x} = m\,g\) und wir können die Masse m auf beiden Seiten der Gleichung kürzen. Das Resultat ist natürlich das allgemein bekannte Gesetz des freien Falls, welches nach Lösen der Differentialgleichung zu folgenden Formeln führt:

\(\dot{x} = v(t) = g\,t + v_{0}\hspace{1cm}{\small\text{und}}\quad x(t) = \frac1{2}g\,t^{2}+v_{0}t+x_{0}\ .\)

Kommen wir vielleicht zu einem ersten Anwendungsfall: Ducati wirbt, daß ihre Diavel aus dem Stand in nur 2,6 s auf eine Geschwindigkeit von 100 km/h beschleunigt werden kann. Was ist von dieser Aussage zu halten?

DiavelBeispielWir nehmen eine gleichmäßige Translationsbewegung an, was infolge des notwendigen Gangwechsels praktisch nicht realisierbar ist, und berechnen für diese die mittlere Beschleunigung zu

\(a=\dfrac{v-v_{0}}{t}=\dfrac{100\,\mathrm{km/h}}{2,6\,\mathrm{s}}=\dfrac{100}{3,6\cdot2,6}\,\mathrm{m/s}^{2}=10,7\,\mathrm{m/s}^{2}\)

Für die weiteren Betrachtungen vernachlässigen wir eine ganze Reihe von Parameter, die alle Einfluß auf die Vorwärtsbewegung einer solchen Maschine haben. Allein bei der Geradeausfahrt sind dies der Rollwiderstand (Walkarbeit des Reifens), der Luftwiderstand des Motorrades samt Fahrer, der Beschleunigungswiderstand und ggf. bei Bergauffahrt noch ein Steigungswiderstand. Aus der Summe dieser Einzelkomponenten läßt sich das erforderliche Antriebsmoment am Hinterrad bzw. die erforderliche Antriebskraft in der Kontaktfläche Reifen-Fahrbahn exakt errechnen. Hinzu kommt das Reibsystem, welches aus drei Komponenten besteht: dem Reifen, der Fahrbahnoberfläche und einem Zwischenmedium aus unterschiedlichsten Verunreinigungen wie z. B. Staub, Wasser, Eis oder Gemischen daraus. Alle diese Aspekte lassen wir für eine grobe Abschätzung außen vor. Da die wirksame Antriebskraft \(F_A\) maximal den Wert der Haftreibungskraft \(F_H\) annehmen kann (andernfalls dreht das Hinterrad einfach durch), bedeutet dies

\(m\cdot a=F_{A}=F_{H}=\mu_{H} m\,g\quad:\quad\mu_{H}=\dfrac{a}{g}=\dfrac{10,7}{9,81}\approx1,1\ . \)

Nun liegt die Reibungszahl von Gummi auf normalem Asphalt bei trockenen Fahrbahnverhältnissen bei maximal 0,9, verbessert sich auf Beton auf etwa 1,0, d. h., dieser Wert ist unter normalen Fahrbahnbedingungen selbst mit größtem fahrerischem Geschick kaum realisierbar. Nur auf Rennstrecken mit rauem Spezialasphalt lassen sich derartige Beschleunigungswerte realisieren.

Die Gleitreibungskraft zwischen Bremsbacken und Bremsscheibe dient zum Abbremsen eines Fahrzeugs. Auch hierbei kann nur der Maximalwert der Haftreibung zwischen Rad und Straße auf das Fahrzeug übertragen werden. Erreicht die Gleitreibungskraft in der Bremse den Maximalwert der Haftreibung zwischen Rädern und Fahrbahn, blockieren die Räder – das Fahrzeug beginnt zu rutschen.

Und auch für das dritte Beispiel einer Kraftanwendung bleiben wir bei einer Motorradbaugruppe – dem Federbein – allerdings in der stark vereinfachten Form als Federschwinger. Für den Fall der freien umgedämpften Schwingung eines Massenpunktes gilt das HOOKEsche Gesetz:

\(F = -k_{0}x\quad{\small\text{mit $k_{0}$ als Federkonstante}}\ . \qquad\text{(7)}\)

Hiermit können wir wieder die Bewegungsgleichung aufstellen, die jetzt lautet:

\(\begin{align}m\,\dfrac{\rm{d}^{2}x}{dt^{2}} &= -k_{0}x && {\small\text{bzw. nach Umformung}} \notag \\\dfrac{\rm{d}^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x &= 0 && {\small\text{mit}}\quad\omega_{0}^{2}=\dfrac{k_{0}}{m}\ . \qquad\text{(8)}\end{align}\)

Weshalb wir hier die Konstanten \(k_0\) und \(m\) zu \(\omega_0^2\) und nicht einfach zu \(\omega_0\) zusammenfassen, werden wir gleich verstehen. Bei der → Gleichung (8) handelt es sich um eine homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Im Unterschied zu den uns geläufigen Bestimmungs- und Funktionsgleichungen, deren Lösungsmenge im allgemeinen aus endlich vielen diskreten reellen Werten bestehen, suchen wir nun eine Funktion, die, mit ihrer 2. Ableitung addiert, Null ergibt. Wir kennen bereits Funktionen mit dieser Eigenschaft: Bei der Sinus- und Kosinusfunktion stimmen die zweiten Ableitungen bis auf das Vorzeichen mit den jeweiligen Ausgangsfunktionen überein. Aber damit nicht genug: Von Kurvendiskussionen sollte uns gekannt sein, daß eine Funktion, deren 2. Ableitung an der Stelle x negativ ist, eine konkave Krümmung, bei verschwindender 2. Ableitung im Punkt x keine Krümmung und für positive Werte der 2. Ableitung eine Linkskrümmung (konvex) aufweist. Durch richtige Interpretation der Differentialgleichung können wir die zu erwartende Weg-Zeit-Abhängigkeit qualitativ gut beschreiben.

Mathematiker werden diesen etwas hemdsärmeligen Lösungsansatz nur sehr eingeschränkt akzeptieren. Stattdessen werden sie argumentieren, daß Differentialgleichungen des vorliegenden Typs ganz allgemein mittels des Exponentalfunktion-Ansatzes gelöst werden:

\(x = C\cdot\,{\rm e}^{(\lambda\,t)}\ . \qquad\text{(9)}\)

Setzen wir diesen Ansatz in  Gleichung (8) ein, erhalten wir

\(\lambda^{2}+\omega_{0}^{2} = 0 \quad{\small\text{mit den beiden Lösungen}}\;\lambda_{1,2}=\pm\sqrt{-\omega_{0}^{2}}\ .\qquad\text{(10)} \)

An dieser Stelle kommen wir wahrscheinlich aber nicht weiter, da wir wissen, daß im Bereich der reellen Zahlen, Wurzeln mit einem negativen Radikanden nicht erklärt sind. „Was tun?“, sprach Zeus oder wie JOHN CLEESE an solchen Stellen zu sagen pflegte: „Und nun zu etwas völlig anderem.“

Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen stellen eine sinnvolle Erweiterung der reellen Zahlen dar. Viele Probleme, die im Reellen keine Lösung besitzen, werden im Bereich der komplexen Zahlen lösbar. Darüber hinaus erlaubt die geometrische Interpretation der komplexen Zahlen eine elegante Beschreibung von Abbildungen.

Das Lösen der Schwingungsgleichung scheitert momentan an der Fragestellung, welche Wurzeln die Gleichung \(x^2 = -1\) lösen. Im Reellen können wir hierauf keine Antwort geben, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht negativ ist. Ziel einer Zahlenbereichserweiterung muß es daher sein, eine neue Zahl – wir werden sie zukünftig imaginäre Einheit nennen und ihr das Symbol i zuweisen – mit der Eigenschaft zu kreieren, daß sie mit sich selbst multipliziert \(-1\) ergibt: \(i\cdot i = -1\).

Verknüpfen wir nun die neu eingeführte imaginäre Einheit i mit den reellen Zahlen, so gelangen wir zu den komplexen Zahlen. Das Wort „komplex“ steht hier für „zusammengesetzt“ (von lateinisch complexus = verflochten). Wir definieren komplexe Zahlen allgemein mittels der folgenden Definition:

Seien x, y reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit. Als komplexe Zahl bezeichnen wir dann eine Zahl z der Form \(z = x + i\cdot y\) . (kartesische Normalform)   (2–1)

Unter dem Realteil einer komplexen Zahl wollen wir in Zukunft den rein reellen Anteil der Zahl verstehen. Der Realteil der komplexen Zahl \(2 – 5i\) ist also 2. Wir schreiben auch \(\Re(2 – 5i) = 2\).
Im Unterschied hierzu verstehen wir unter dem Imaginärteil jenen Teil der komplexen Zahl, der mit der imaginären Einheit i verknüpft ist. Der Imaginärteil der komplexen Zahl \(2 – 5i\) ist also \(-5\). Wir schreiben auch \(\Im(2 – 5i) = -5\).

Wie aber können wir zukünftig mit diesen neuen Zahlen rechnen? Die gute Nachricht ist, daß die Rechenregeln für reelle Zahlen weiterhin gültig sind. Somit sind Addition und Subtraktion schnell erklärt und unmittelbar einleuchtend: Komplexe Zahlen werden addiert/subtrahiert, indem wir die Realteile und die Imaginärteile separat addiert bzw. subtrahieren. Die Multiplikation im Komplexen wird mit Verweis auf die Gültigkeit des Distributivgesetzes durch einfaches Ausmultiplizieren erklärt; wir finden die nachstehende identische Gleichung:

\(\begin{align*}z_{1}\cdot z_{2} &= (x_{1}+i\cdot y_{1})(x_{2}+i\cdot y_{2}) = x_{1}x_{2}+i\cdot x_{1}y_{2}+i\cdot x_{2}y_{1}-y_{1}y_{2} \\[1ex]z_{1}\cdot z_{2} &= x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\end{align*}\)

Jede komplexe Zahl besitzt eine so genannte konjugiert komplexe Zahl, bei der die Realteile beider Zahlen gleich, die Imaginärteile aber entgegengesetzt gleich sind, d. h. sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Es sei \(z = x + i\cdot y\) eine komplexe Zahl. Die zu \(z\) konjugiert komplexe Zahl ist die Zahl \(x – i\cdot y\). Wir schreiben dafür auch \(\overline{z} = x – i\cdot y\).

Aus der Definition der konjugiert komplexen Zahl leiten sich eine Reihe von Eigenschaften ab, die an dieser Stelle kurz genannt seien:

\(\overline{\overline{z}} = z\ ,\qquad z+\overline{z}=2\Re(z)\ ,\qquad z-\overline{z}=2i\Im(z)\ , \qquad z\cdot\overline{z}=\Re(z)^{2}+\Im(z)^{2}\ .\)

Die vierte Eigenschaft werden wir jetzt nutzen, um die Division zweier komplexen Zahlen \(z_1,z_2\) zu erklären. Wenn wir nämlich Zähler und Nenner des Quotienten mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(z_2\) erweitern, wird der Nenner reell und wir haben im Zähler nur noch zwei komplexe Zahlen miteinander zu multiplizieren:

\(\begin{align*}\frac{z_{1}}{z_{2}} &= \frac{x_{1}+i\cdot y_{1}}{x_{2}+i\cdot y_{2}}= \frac{(x_{1}+i\cdot y_{1})(x_{2}-i\cdot y_{2})}{(x_{2}+i\cdot y_{2})(x_{2}-i\cdot y_{2})}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\end{align*}\)

Die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen und ihre Operationen können geometrisch dargestellt werden. Jede komplexe Zahl z ist durch ein reelles Zahlenpaar (x, y) eindeutig festgelegt, wie auch umgekehrt jedem komplexen z ein reelles Zahlenpaar zuordenbar ist. Die Ebene heißt Gaußsche Zahlenebene. Offensichtlich entspricht die reelle Achse allen reellen Zahlen (also dem ursprünglichen Zahlenstrahl) und die imaginäre Achse allen rein imaginären Zahlen. Dem Bilden der entgegengesetzten Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene eine Spiegelung am Nullpunkt (punktsymmetrisch), während die konjugiert komplexen Zahl achsensymmetrisch zur reellen Achse liegen.

Komplex1Da wir jeder komplexen Zahl eindeutig einen Vektor in der Zahlenebene zuordnen können, entspricht die Addition zweier komplexer Zahlen der Vektoraddition der zugehörigen Vektoren (Analoges gilt für die Subtraktion). Auch die Länge des Vektors hat eine Entsprechung bei den komplexen Zahlen.

Es sei \(z = x + i\cdot y\) eine komplexe Zahl. Die Länge des zugehörigen Vektors nennen wir den Betrag der komplexen Zahl z und schreiben \(|z|\). Es gilt \(|z|=\sqrt{x^2 +y^2}=\sqrt{z\cdot\overline{z}} ≥0\).  (2–2) 

Folglich ist eine komplexe Zahl auch als Zeiger der Länge r und des von diesem mit der positiven reellen Achse eingeschlossenen Winkel \(\varphi\) eindeutig festgelegen. Die geänderte Schreibweise bezeichnen wir als trigonometrische Darstellung, da sie die Winkelbeziehungen am Einheitskreis widerspiegelt.

\(z = r(\cos \varphi + i\cdot \sin \varphi)\hspace{3cm}\)   (2–3)

Es existiert eine weitere Polarform für komplexe Zahlen, die sich unter Verwendung der von EULER stammenden Formel

\(e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\cdot sin \varphi\hspace{3cm}\) (Eulersche Identität)   (2–4)

aus der trigonometrischen Formel unmittelbar ableiten läßt. Wir nennen sie die Exponentialform einer komplexen Zahl und halten fest:

\(z = r\cdot e^{i\varphi}\ .\hspace{3cm}\)  (2–5)

Auf die Herleitung bzw. den Beweis der EULERschen Identität wird an dieser Stelle verzichtet. Nichtsdestotrotz soll auf eine spezielle Ausprägung dieser Gleichung hingewiesen werden, welche für den Physik-Nobelpreisträger RICHARD FEYNMAN1 die bemerkenswerteste oder schlicht schönste Formel der Welt ist. Setzen wir den Winkel \(\varphi = \pi\), so geht Gleichung (2–4) in die folgende Gleichung über:

\(e^{i\pi} +1=0\ .\hspace{3cm}\) (2–6)

Sie setzt die fundamentalen mathematischen Konstanten in eine Beziehung:

  • Die Zahlen 0 und 1 sind die Grundlage des Zählens und der Arithmetik.
  • Die Zahl π ist die geometrische Konstante unserer EUKLIDischen Welt.
  • Die EULERsche Zahl e ist die Konstante bei Wachstumsvorgängen.
  • Durch die imaginäre Einheit i haben alle Polynome eine komplexe Nullstelle.

Spötter sind allerdings der Meinung, diese Formel besage nichts anderes als: „Wenn man sich umdreht, schaut man in die andere Richtung.“

Die beiden Polarformen sind bei einer Reihe mathematischer Operationen, wie z. B. der Multiplikation und der Division, der kartesischen Normalform vorzuziehen. Auch das Potenzieren einer komplexen Zahl ist in dieser Darstellung einfach.

\(z^n =r^n \cdot e^{in\varphi} =r^n\cdot(\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi))\ .\)

Wir kennen jetzt die wichtigsten mathematischen Grundlagen, um uns wieder der Bewegungsgleichung für die Federkraft zuwenden zu können. Dank der komplexen Zahlen können wir nun die quadratische Gleichung lösen:

\(\begin{align*}
\lambda^{2}+\omega_{0}^{2} &= 0\quad\rightarrow\;\lambda^{2}=(-1)\omega_{0}^{2} = i^{2}\cdot\omega_{0}^{2}\quad\text{mit den komplexen Lösungen} \\
\lambda_{1,2} &= \pm i\cdot\omega_{0} \end{align*}\)

Diese Lösungen ergeben mit dem Ansatz \(x(t)=C\cdot e^{\lambda\,t}\) zwei linear unabhängige Lösungsfunktionen, nämlich

\(\begin{align*}
x_{1}(t) &= C_{1}\exp(i\omega_{0}t)\quad\text{und}\quad x_{2}(t) = C_{2}\exp(-i\omega_{\,0}t)\quad\text{mit}\;C_{1,2}\in\mathbb{C}\ .
\end{align*}\)

Die allgemeine Lösung finden wir als Linearkombination der beiden Lösungen:

\(x(t) = C_1 \exp(i\omega_0t) + C_2 \exp(−i\omega_0t)\hspace{3cm}\) (2–7)

Die beiden Konstanten \(C_1, C_2\) bestimmen wir aus den sogenannten Anfangsbedingungen. Nehmen wir z. B. an, die Feder wird in ihrer maximalen Auslenkung \(x_0\) aus der Ruhelage losgelassen. Insbesondere soll \(v = \dot{x} = 0\) bei \(t = 0\) gelten. Diese Annahmen ergeben ein lineares Gleichungssystem:

\(\begin{align*}
x(t=0)=x_{0} &= C_{1}\,e^{i\,\omega_{0}\cdot0}+C_{2}\,e^{-i\,\omega_{0}\cdot0} \\
x_{0} &= C_{1}+C_{2} \hspace{4cm}:\; x_{0} = 2C\\\dot{x}(t=0) = 0 &= C_{1}\cdot i\omega_{0}\,e^{i\omega_{0}\cdot0}-C_{2}\cdot i\omega_{0}\,e^{-i\omega_{0}\cdot0} \\0 &= C_{1}-C_{2} \hspace{4cm}:\; C = C_{1}=C_{2} \end{align*}\)

Wir setzen \(C=x_{0}/2\) in die allgemeine Lösung ein

\(\begin{align*}
x(t) &= \frac{x_{0}}{2}\left[e^{i\omega_{0}t}+e^{-i\omega_{0}t}\right] \\
&= \frac{x_{0}}{2}\left[\cos(\omega_{0}t)+i\cdot\sin(\omega_{0}t)+\cos(-\omega_{0}t)+i\cdot\sin(-\omega_{0}t)\right] \\
&= \frac{x_{0}}{2}\left[2\cos(\omega_{0}t)+i\cdot\sin(\omega_{0}t)-i\cdot\sin(\omega_{0}t)\right]
\end{align*}\)

Somit lautet die allgemeine Lösung für die ungedämpfte Federschwingung für die vereinbarten Anfangsbedingungen:

\(x(t) = x_{0}\cos(\omega_{0}t)\qquad\text{mit}\;x_{0}\in\mathbb{R}\text{ und }\omega_{0}=\sqrt{\frac{k_{0}}{m}}\ .\hspace{2cm}\)(2–8)

In der Natur und im Alltag finden wir bei aufmerksamer Beobachtung zahllose weitere Beispiele, bei denen wir mittels komplexer Zahlen Aufbau und Funktionsweise von Objekten und Erscheinungen exakt beschreiben können. Einige Vertreter zeigen die nächsten Fotos. Beispielsweise sind die Kerne von Sonnenblumen spiralförmig um den Mittelpunkt angeordnet, einige Muschelgehäuse wachsen in dieser Form, Lakritze wird als Spirale aufgewickelt, aus bestimmten Perspektiven betrachtet scheinen Wendeltreppen in einem Punkt zu enden, ja selbst das menschliche Ohr ist auf ähnliche Weise geformt.

WendeltreppeSonnenblumeOhrMuschelLakritze

Und auch die zerstörerische Gewalt eines Hurrikans breitet ihre Schrecken in betörender Schönheit über den Menschen.

HurricaneWie aber können wir all diese Geometrie mathematisch beschreiben? Die Funktionsgleichungen in Polarform und kartesischer Darstellung sind rasch gefunden.

\(\begin{align*}r(\varphi) &= a\,e^{k\varphi}  ;\qquad \varphi\in\mathbb{R} \\\varphi(r)  &= \frac {1}{k} \ln \left( \frac {r}{a} \right);\;  a, k \in \mathbb R \setminus \{0\}\end{align*}\)\(\quad\color{navy}{\bigg\vert}\quad\)\(\begin{align*}x(\varphi) &= r(\varphi) \cos{\varphi} = a\,e^{k \varphi} \cos{\varphi} \\y(\varphi) &= r(\varphi) \sin{\varphi} = a\,e^{k \varphi} \sin{\varphi}\end{align*}\)

Anhand der Gleichungen können wir auch ablesen, weshalb diese Spiralen logarithmisch genannt werden. Sie haben eine Reihe einzigartiger Eigenschaften:

  • Das Vorzeichen von \(a\cdot k\) gibt die Drehrichtung der Spiralen in der Ebene an,
  • Alle durch den Pol gehenden Geraden schneiden die Kurve – also ihre Tangenten – unter dem gleichen Tangentenwinkel \(\alpha\) mit \(\tan \alpha = 1/k\),
  • Die Spirale umkreist den Ursprung unendlich oft, ohne ihn zu erreichen,

um nur drei von ihnen zu nennen. Schön, aber finden wir vielleicht nach eine einfache Beschreibung für diese Geometrie? Statt langer Erklärungen legen wir einfach los und zeichnen für die komplexe Zahl \(z = 1 + i\) die zugehörigen Potenzen \(z^2,z^3,\ldots,z^8\) in die Gauche Zahlenebene. Was wir erhalten, ist bereits eine Annäherung an solch eine logarithmische Spirale.

Komplex2Eine vollständige Spirale erhalten wir, wenn wir von den diskreten Exponenten \(1, 2,\ldots , 8\) zu einem kontinuierlichen Exponenten \(t\in\mathbb{R}\) übergehen, d. h., wir betrachten \(z^t\). Da die komplexe Zahl \(z = 1 + i\) den Betrag \(\sqrt{2}\) und das Argument π/4 hat, können wir sie auch in Polarform schreiben:

\(1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\) ,

wodurch das anschließende Potenzieren besonders einfach wird:

\((1+i)^{t} = (\sqrt{2}\,e^{i\pi/4})^{t} = \left(\sqrt{2}\right)^{t}\left(\,e^{i\pi/4}\right)^{t}=2^{t/2}\cdot\,e^{i\frac{\pi}{4}t}=w(t)\ .\)

Wieder können wir nun zu jedem Wert t die Zahl \(w(t) = (1+i)^t\) bestimmen und die zugehörigen Punkte in der Zahlenebene einzeichnen. Alle diese Punkte bilden die gesuchte logarithmische Spirale. Durch Verallgemeinern finden wir als Definition:

Sei z eine nicht reelle Zahl mit \(|z| \neq 1\). Die Kurve der logarithmischen Spirale ist dann gegeben durch die Gleichung \(w(t)=z^t,\qquad t\in\mathbb{R} .\qquad\) (2–9) 

Männer umschwirr’n mich wie Motten das Licht“ – hauchte Marlene Dietrich einst im „Blauen Engel“. Daß Motten und andere Nachtfalter von starken Lichtquellen angezogen werden, weiß jeder, der einmal im Sommer mit einer Lichtquelle im Freien gesessen hat. Aber warum ist das so? Und wußten Sie, daß Motten auch von Lichtquellen abgestoßen werden können? Und was hat das Ganze eigentlich mit logarithmischen Spiralen zu tun?

Komplex3Um es gleich vorauszuschicken: Warum Motten vom Licht angezogen werden, ist noch nicht vollständig geklärt. Die plausibelste Theorie nimmt an, daß die Falter sich bei ihren nächtlichen Flügen an natürlichen Lichtquellen orientieren2. Der Mond oder auch helle Sterne bilden eine solche Lichtquelle, deren Strahlen auf der Erde in guter Näherung parallel ankommen. Indem die Insekten zu den Strahlen dieser Lichtquellen einen konstanten Flugwinkel einhalten, gelingt es ihnen, geradeaus zu fliegen. Wenn die Motte also einen konstanten Winkel zu ihnen einhält, fliegt sie automatisch geradeaus. So könnte, wie in der Abbildung gezeigt, das Mondlicht schräg von rechts oben einfallen. Die Motte fliegt mit dem konstanten Flugwinkel \(\alpha\) zu diesem Mondlicht bis sie in die Nähe eines hellen Punktstrahlers kommt. Dessen Lichtstrahlen überdecken das Mondlicht und zwingen die Motte unter Beibehaltung des Flugwinkels auf die Bahn einer logarithmischen Spirale, bei welcher jede vom Ursprung ausgehende Gerade immer unter dem gleichen Winkel geschnitten wird, um schließlich den Weg allen irdischen anzutreten.

Es könnte allerdings auch der Fall eintreten, daß Lichteinfall und Flugrichtung einen rechten Winkel bilden, so daß das Insekt in der Nähe des Punktstrahlers in ein Orbit um die Lichtquelle eintritt, oder sich sogar von der Lichtquelle entfernt, wenn Mondlicht und Flugroute einen spitzen Winkel bilden. Vielleicht hätte Marlene also singen sollen: „Männer umschwirren mich wie Motten das Licht – Manchmal nähern sie sich logarithmisch, manchmal aber auch nicht“.

Wir haben heute einen relativ weiten Bogen von der Antike und den Beobachtungen des Aristoteles, über die grandiosen Erkenntnisse eines Galileis und Newtons bis zur Schönheit der komplexen Zahlen geschlagen. Da das letzte Wort aber stets eine Frau spricht, soll die Harvard-Professorin und Bestseller-Autorin LISA RANDALL3 an dieser Stelle NEWTONs Opus würdigen:

„NEWTONs Gesetze funktionieren auf bewundernswerte Weise für eine gut verstandene Bandbreite von Längen, Geschwindigkeiten und Dichten. Abweichungen erscheinen nur bei ganz kleinen Abständen, bei denen die Quantenmechanik die Regeln ändert, bei äußerst hohen Geschwindigkeiten, bei denen die Realativitätstheorie gilt, oder bei ungeheuren Dichten, wie z. B. denen in einem schwarzen Loch, wo die allgemeine Relativitätstheorie die Geltung übernimmt. NEWTONs Gesetze sind zugleich sowohl korrekt als auch unvollständig. Sie gelten für einen begrenzten Bereich.“

Quellen:

1 Richard Feynman u.a.,“The Feynman Lectures on Physics, The Definitive Edition (Volume I)“, Pearson Education, 2006
2 Christina Diehl, Marcel Leupp, „Komplexe Zahlen. Ein Leitprogramm in Mathematik„, 2010, http://www.educ.ethz.ch/unt/um/mathe/aa/kz/Leitprogramm.pdf
3 Lisa Randall, „Die Vermessung des Universums„, S. Fischer Verlag, 2012